原标题：秒懂算法 | 蒙特卡罗算法

主元素问题的蒙特卡罗算法分析、设计与Python实战。

蒙特卡罗算法的基本思想：设p是一个实数，且0.5

在一般情况下，如果设蒙特卡罗算法是一致的p正确的。那么至少调用多少次蒙特卡罗算法，可以使得蒙特卡罗算法得到正确解的概率不低于1-ε(0<ε≤1-p)？

假设至少调用x次，则p+(1-p)p+(1-p) 2 p+…+(1-p) x-1 p≥1-ε，即1-(1-p) x ≥1-ε，因为

，所以x≥log 1-p ε，故

。由此可见，无论ε的取值多么小，都可以通过多次调用的方法使得蒙特卡罗算法的优势增强，最终得到一个具有可接受错误概率的算法。

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主元素问题

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问题分析

设T［1:n］是一个含有n个元素的数组。当|{i|T［i］=x}|>n/2时，称元素x是数组T的主元素。例如，T=［1,1,1,2,5,5,1,1,1,1］，T中有10个元素，其中元素1出现了7次，超过了总元素个数的一半，所以元素1是T的主元素。再如T=［1,1,2,2,5,5,1,2,2,1］，元素1出现4次，元素2出现4次，元素5出现2次，元素1、2、5出现的次数都不超过总元素个数的一半，所以T中不存在主元素。

由此可知，T中要么有主元素，且只有一个元素为主元素，要么没有主元素。主元素问题为要求确定给定的T中是否有主元素。

2

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算法设计

对于给定的含有n个元素的数组T，设计确定数组T中是否存在主元素的蒙特卡罗算法如下：

由主元素的定义可知，如果T中含有主元素，那么上述蒙特卡罗算法返回True的概率大于1/2；如果T中不含有主元素，那么肯定返回False。

在实际使用过程中，蒙特卡罗算法得到的解的可信度至少为50%，这是无法让人接受的。为此，可通过重复调用该算法的方法来提高算法的可信度，使其错误概率降低到可接受的范围内。

对于任意给定的ε>0，重复调用蒙特卡罗算法

次，可使得算法的可信度大于1-ε，即错误概率小于ε。算法如下：

显然，算法majorityMC所需的计算时间是

。特别地，令p=1/2，则计算时间为O(nlog(1/ε))。

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Python实战

首先引入需要类包random、math。其代码如下：

定义majority函数，用于判定T中是否有主元素。若有主元素，则返回True；否则，返回False。其代码如下：

定义majorityMC函数，用于执行若干次，使得主元素问题的蒙特卡罗算法得到正确解的概率不小于1-ε。majorityMC函数中，首先调用一次majority函数，如果有主元素，就直接返回True；否则，最多循环执行k次，提高蒙特卡罗算法得到正确解的概率，使之不小于1-ε。其代码如下：

定义Python入口——main函数，在main函数中，给出两个实例，分别调用majorityMC函数，得到结果，该结果的可信度不低于1-ε。最后将算法结果打印输出到显示器上。其代码如下：

输出结果为(不同次的执行，结果可能不同)

T中是否有主元素？，结果为：True

T1中是否有主元素？，结果为：False

实例讲解

算法设计与分析（Python版）

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满m叉树模型——图的m可着色问题的回溯算法

排列树模型——旅行商问题的分支限界法

最大网络流的增广路算法

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参考书籍

《算法设计与分析》

作者：王秋芬

定价：59.90元

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